赫尔德不等式是概率论中的一种重要不等式，它描述了随机变量之间的乘积的期望值与各随机变量的期望值的乘积之间的关系。具体来说，如果 $X_1, X_2, \\cdots, X_n$ 是 $n$ 个随机变量，且它们的 $p$ 次方的期望值（$p>1$）均存在，则有：
$$
\\left[ E\\left(\\prod_{i=1}^n X_i^p\\right) \\right]^{1/p} \\leq \\sum_{i=1}^n \\left[ E(X_i^p) \\right]^{1/p}
holder不等式取等条件是a=b或p=1。当a=b时,holder不等式左右两边的表达式都是相等的,因此不等式成立。
当p=1时,holder不等式的左边就是绝对值的形式，而右边表达式也是绝对值形式，因此不等式成立。
赫尔德不等式（Hölder's Inequality）是一种数学分析中的基本不等式，它可以揭示 Lp 空间之间的相互关系。赫尔德不等式的应用广泛，主要思路是利用杨氏不等式。
赫尔德不等式的的一般形式如下：
如果 f(x) 和 g(x) 是非负实数，且 p 和 q 是满足 1/p + 1/q = 1 的正整数，那么对于任意的 x，有：
f(x) * g(x) ≤ [f(x)]^p * [g(x)]^q
当且仅当 f(x) = g(x) 时，等号成立。
赫尔德不等式可以用于证明其他不等式，例如闵可夫斯基不等式（Minkowski's Inequality）和柯西 - 布尼亚科夫斯基 - 许瓦尔兹不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）。
赫尔德不等式的证明方法多种多样，其中一种常见的证明方法是利用杨氏不等式。杨氏不等式表示为：
a_1/p * b_1/q ≤ [(a_1 * b_1)^(1/p) * (a_2 * b_2)^(1/q)]
其中 a_1, b_1, a_2, b_2 是实数，且 p 和 q 是满足 1/p + 1/q = 1 的正整数。
通过适当的变量替换，我们可以将杨氏不等式转化为赫尔德不等式。